Byly alespoň dvě varianty, všechny otázky se lišily, ale byly principem podobné. Proto píšu jenom otázku 1 v obou variantách.
1. (varianta A)
Definujte pojem regulární matice (1 bod)
Zformulujte a dokažte větu o matici složeného lineárního zobrazení. (7 bodů)
1. (varianta B)
Definujte pojem znaménko permutace. (1 bod)
Zformulujte a dokažte větu o maticové reprezentaci lineárního zobrazení. (7 bodů)
2. (varianta B)
Buď A=(2+2−1−1−1201−21)A = \begin{pmatrix} 2 + 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}A=2+2−11−12−2−101.
(a) Nad kterým tělesem typu Zp,p≥3\mathbb{Z}_p, p \geq 3Zp,p≥3, platí (1,1,1)T∈Ker(A3)(1, 1, 1)^T \in \text{Ker}(A^3)(1,1,1)T∈Ker(A3)? (3 body)
(b) Nad kterým tělesem typu Zp,p≥3\mathbb{Z}_p, p \geq 3Zp,p≥3, platí (1,2,1)T∈Ker(AT)∩R(A88)(1, 2, 1)^T \in \text{Ker}(A^T) \cap \mathcal{R}(A^{88})(1,2,1)T∈Ker(AT)∩R(A88)? (3 body)
3. (varianta B)
Najděte dva různé vektory x,y∈R3x, y \in \mathbb{R}^3x,y∈R3 takové, že f(x)=f(y)=(0,−1,2)Tf(x) = f(y) = (0, -1, 2)^Tf(x)=f(y)=(0,−1,2)T při lineárním zobrazení f:R3→R3f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3f:R3→R3 definovaném maticí
kan[f]B=(1111323−11){}_{kan}[f]_B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}kan[f]B=11313−1121
a bází $ B = {(4, 4, 2)^T, (2, 1, 1)^T, (3, 2, 1)^T}$. (6 bodů)
4. (varianta B)
Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá: (4x 2 body)
(a) Buď A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n}A∈Rm×n a buď b,c∈Rnb, c \in \mathbb{R}^nb,c∈Rn. Soustava Ax=bAx = bAx=b má jediné řešení právě tehdy, když soustava Ax=cAx = cAx=c má jediné řešení.
(b) Je-li součin ABABAB čtvercová matice a ABABABABABAB také, potom obě matice AAA a BBB musí být rovněž čtvercové.
(c) Buďte U,V,WU, V, WU,V,W podprostory nějakého vektorového prostoru. Pak U∩(V+W)⊇(U∩V)+(U∩W)U \cap (V + W) \supseteq (U \cap V) + (U \cap W)U∩(V+W)⊇(U∩V)+(U∩W).
(d) Prostory S(1231)\mathcal{S} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}S(1321) a {(a+b,a−b,2a−3b)T∈R3;a,b∈R}\{(a + b, a - b, 2a - 3b)^T \in \mathbb{R}^3; a, b \in \mathbb{R} \}{(a+b,a−b,2a−3b)T∈R3;a,b∈R} jsou isomorfní.
